2020牛客寒假集训第一场J题——矩阵快速幂

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发布时间：2019-03-15

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题目描述：

给你5个数 :n,x,y,a,b(1<=n,x,y,z,b<=1e12)

f(1)=x,f(2)=y,f(i)=f(i-1)*f(i-2)*a^b(i>3)

让你求f(n)%1e9+7的值

题解：

f(1)=x;
f(2)=y;
f(3)=x*y*a^b;
f(4)=x*y*a^b*y*a^b=x*y^2*a^2b
f(5)=x*y^2*a^2b*x*y*a^b*a^b=x^2*y^3*a^4b
f(6)=x^2*y^3*a^4b*x*y^2*a^2b=x^3*y^5*a^6b
设c为常数
c x y
1 0 1 0
2 0 0 1
3 1 1 1
4 2 1 2
5 4 2 3
6 6 3 5
c:
i<3:fb2(1)=fb2(2)=0;
i>=3:fb2(i)=fb2(i-1)+fb2(i-1)+1;
//注意不能化成fb2(i)=fb2(i-1)*fb2(i-2)*a^b;
//因为这样不能用常量矩阵来维护，因为矩阵乘法的每一项的结果是相加的。
ans1=a^(b*fb2(i))，相当于只维护幂次和
1 1 1 fb2(i-1) fb2(i)
1 0 0 * fb2(i-2) = fb2(i-1)
0 0 1 1 1
设t为3*3的矩阵{
{1,1,1},{1,0,0},{0,0,1}};
设ai为3*1的矩阵{fb2(i),fb2(i-1),1}
则a1={fb2(2),fb2(1),1}
ai=a(i-1)*t
a2=a1*t
a3=a2*t=a1*t^2
=>ai=a1*t^(i-1)
=>
fb2(2) fb2(i)
t^(i-1) * fb2(1) = fb2(i-1)
1 1
如果要求fb2(n)
利用矩阵快速幂求出t^(n-1)
fb2(n)=t^(n-1)的第一行*a1的第一列(即矩阵{0,0,1})
则c对答案的贡献为 ans1=a^(b*fb2(n))（可以用快速幂求）

x:
i<3:fb1(1)=1, fb1(2)=0;
i>=3:fb1(i)=fb1(i-1)+fb1(i-2);
1 1 fb1(i-1) fb1(i)
1 0 * fb1(i-2) = fb1(i-1)
设t为2*2的矩阵{
{1,1},{1,0}}
设ai为2*1的矩阵{fb1(i),fb1(i-1)}
则a1为2*1的矩阵{fb1(2),fb1(1)}
ai=a(i-1)*t;
a2=a1*t
a3=a2*t=a1*t*t=a1*t^2
a4=a3*t=a1*t*t*t=a*t^3;
根据递推式可得
ai=a1*t^(i-1);
即
t^(i-1) fb1(2) fb1(i)
* fb1(1) = fb1(i-1).
故fb1(n)=t^(n-1)的第一行*a1(即矩阵{0,1})
因此对答案的贡献是 ans2=x^fb1(n);
y:
i<3:fb1(1)=0,fb1(2)=1;
i>=3:fb1(i)=fb1(i-1)+fb1(i-2);
推导过程和上面类似，只不过初始值变了
可以自己再推一遍。
最后答案就是ans1*ans2%mod*ans3%mod
trick:
1.因为x和y的递推都是斐波那契数列，只不过初始值变了，而且x比y多了一位，所以我们可以放在一起考虑。
2.a^b对上面的指数取模时不能直接取，需要用到费马小定理
定理内容:如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）
3.根据上面的定理所以我们需要特判a是p的倍数的情况以及x,y是p的倍数的情况。

代码实现：

#pragma GCC optimize(2)#include
    
     #include
     
      #include
      
       #include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           #include
            
             #include
             
              #include
              
               #define PI atan(1.0)*4#define E 2.718281828#define rp(i,s,t) for (register int i = (s); i <= (t); i++)#define RP(i,t,s) for (register int i = (t); i >= (s); i--)#define ll long long#define ull unsigned long long#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1#define pii pair
               
                #define mp make_pair#define pb push_backusing namespace std;inline int read(){ int a=0,b=1; char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9') { if(c=='-') b=-1; c=getchar(); } while(c>='0'&&c<='9') { a=(a<<3)+(a<<1)+c-'0'; c=getchar(); } return a*b;}ll n,x,y,a,b;const int INF = 0x3f3f3f3f;const ll mod = 1e9+7;struct matrix{ ll a[3][3];};matrix mul(matrix a,matrix b, ll m){ matrix res; rp(i,0,2) rp(j,0,2){ res.a[i][j]=0; rp(k,0,2){ res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%m)%m; } } return res;}matrix matrix_pow(matrix a,ll b,ll m){ matrix res; rp(i,0,2) rp(j,0,2) res.a[i][j]=0; res.a[1][1]=res.a[0][0]=res.a[2][2]=1; while(b){ if(b&1) res=mul(res,a,m); b>>=1; a=mul(a,a,m); } return res;}ll fb1(int flag,ll n,ll m){ matrix tmp; rp(i,0,2) rp(j,0,2) tmp.a[i][j]=0; tmp.a[0][0]=tmp.a[0][1]=tmp.a[1][0]=1; tmp=matrix_pow(tmp,n-1,m); if(flag==1) return tmp.a[0][1]%m; else return tmp.a[0][0]%m;}ll fb2(ll n,ll m){ matrix tmp; rp(i,0,2) rp(j,0,2) tmp.a[i][j]=0; tmp.a[0][0]=tmp.a[0][1]=tmp.a[0][2]=tmp.a[1][0]=tmp.a[2][2]=1; tmp=matrix_pow(tmp,n-1,m); return tmp.a[0][2]%m;}ll quick_pow(ll a,ll b,ll m){ ll res=1; while(b){ if(b&1) res=(res*a)%m; a=(a*a)%m; b>>=1; } return res%m;}int main(){ scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&x,&y,&a,&b); if(n==1) cout<
                
                 <